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一、外心.
三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.
圆周角定理:
同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:
半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀.
90｀圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.
中线长度公式:在三角形ABC中,D为BC上的中点,设BD=DC=n,AD=m,AB=a
AC=b,则有
2（m2+n2)=a2+b2
三、垂心
三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.由三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆,给我们解题提供了极大的便利.
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.
三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,
旁心还与三角形的半周长关系密切.
重心定理
三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点
设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),AB=c,BC=a,AC=b,内心为I,AI交BC于D,BI交AC于E,CI交AB与F
由平面几何性质得BD/DC=c/b,AF/FB=b/a,AE/EC=c/a
由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1
b/a*(b+c)/b*DI/IA=1
DI/IA=a/(b+c)
DI=IA*a/(b+c)
BD=c/b*DC
D
((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))
(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)
I
Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]
Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]
I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))
这个坐标公式没有实际意义,因为a,b,c还要用距离公式代入,但训练定比分点是有用的.
垂心：
A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),垂心H(x0,y0)
用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2
Kah=y1-y0/x1-x0
Kah=-1/Kbc
得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)
同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)
解出x0,y0即可,很麻烦,如果遇到题目,还是代数据比较好,因为公式麻烦也是一种负担
外心,也很麻烦
(x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2
解方程即可
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
张角定理内容在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。?
逆定理:?如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。
这两条定理实用性并不强，可以自己证明，掌握其过程就好。
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